庞加莱猜想

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[拼音]:pangjialai caixiang

[英文]:Poincaré conjecture

拓扑学中重要的猜想之一。球面是数学中最简单且最常见的闭流形。从拓扑学的观点看,n维球面Sn的特征是什么?二维球面S2是单连通的闭曲面,而且每个单连通的闭曲面都和S2同胚。代数拓扑学的奠基人,法国数学家H.庞加莱在1904年猜测:单连通的三维闭流形必与S3同胚。后人接著猜测:当维数n≥4时,单连通的闭流形如果与Sn有相同的同调群,亦必与Sn同胚。这就是n维的庞加莱猜想。

1960年,S.斯梅尔证明了维数n≥5的庞加莱猜想;1981年M.H.弗里德曼证明了四维的情形。庞加莱原来的三维的猜想则尚未解决。

这猜想简明易懂,却是考验我们对于流形的认识深度的一块试金石,每前进一步都曾引起拓扑学的跃进。最近四维庞加莱猜想的解决,又导致一个非常重要的发现:四维的欧氏空间与其馀维数的欧氏空间不同,除了通常的微分结构以外它还有别的不寻常的微分结构。

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